第166章 求任意曲线的切线(2 / 2)
谷 不过不管心中如何猜测,路明远还是立马通过【数学百问】幻境,进入了“学霸讨论小组”。
刚一进来,路明远便发现今天小组里可是热闹的很!
姜子淳,紫虚,夏天,还有其他几位大佬都在激烈的讨论着。
不过路明远却没理会他们,而是将消息拉到了最上面,他倒要看看,这位姜子淳是怎么求出曲线的切线的。
半晌后,路明远神秘一笑,他总算是搞懂了对方的操作。
这位姜子淳是用圆的方程来举例的。
首先呢,对方先将圆的方程进行了一系列的变换,结果不知道怎么的,就算出了圆上任意一点切线的斜率。斜率有了,在将该点的坐标带入,自然也就得出了过改点的切线方程。
变换方法先不谈。
求出了切线方程以后,对方还用向量法,作图法等方法进行了验证,自然也都验证通过了。
其实,这也是必然的!要不然对方根本不可能会发出来。而且还兴师动众的请其他人来验证。
验证过后,我们的姜子淳同学便将她的变换方法进行了推广,推广到了任意曲线上。
之后,她还进行了一定的验算,竟然也符合情况。
不过对于为什么会有这个结果,我们的姜子淳同学却有些不理解,所以对方便将这个问题发到了小组里,想听听其他人的想法。集思广益嘛!
这里可能就有人要问了,明明可以通过向量法求出切线,为什么还要多此一举呢?
还要找其他方法呢?
用向量法多简单啊!
这其中的原因呢,路明远心中自然也知道。
向量法自然可以求出切线,而且还很方便,很准确。但是向量法却有一个前提,那就是要知道与过该切点的切线垂直的向量。有了这个,才可以求出切线的斜率,进而求出切线方程。
但是通常情况下,我们根本就不知道该向量,比如对方直接给你一个曲线方程让你求出过曲线上一点的切线,那这个时候应该咋办?
没招了啊!
所以这便是姜子淳这种方法的意义所在了。
路明远刚刚看了下,姜子淳的方法竟然和他上一辈子的求导很像,也不知道对方是怎么想出来的?
还是说,当数学发展到了一定的阶段,这个的出现就是一种必然。
路明远不知道,不过他却想起了求任意曲线切线方程的由来。
就在今年过年的那段时间,有一个叫做“知足常乐”的网友在做一道过曲线上两点求直线方程的题目的时候,他突然想到,如果曲线上两点之间的距离越来越近,越来越近,那这条线是不是就成了切线?
提出问题后,他自己将圆的切线解决了,也给出了通用的切线公式。但是其他曲线的,比如椭圆,双曲线,抛物线等等,他表示自己无能为力了。
(此时的抛物线还不叫抛物线,单单只是方程y=a*x^2+b*x+c的几何图像)
所以之后,知足常乐便将这个问题发布到了【数学百问】里面,想靠着大家的智慧来解决此事。
但是呢,经过了半年的时间,经过了数百万甚至上千万人的辛苦研究,都没研究个所以然来。
此时姜子淳说自己有了发现,小组内的成员立马放下了手中的活计赶了过来,上来学习学习,瞻仰瞻仰,也生怕错过这个千载难逢的好机会。
这时,只见姜子淳发言道:“除了圆的方程以外,我也将任意多项式曲线的求切线方程的公式总结了出来。”
紧接着,她便发上来一大堆公式。
路明远大致看了下,没啥特别的,就是通过降次的方式来进行求导,求出切线的斜率,进而求出切线方程。
这个不用验证,路明远也知道对方的想法是对的。
但是对方是怎么推出来的?怎么想出来的?冒碰?
对于这个问题,姜子淳的回答是:
“我们都知道,一条曲线的切线其实就是它本身。但是如果具体到某一点,要求过该点的直的切线的话,那就复杂了。
起初呢,我就思考最简单的曲线,也就是直线y=x的情况。
它的斜率是固定为1的,所以我就想着如何通过一定的变换计算,将其化为1。
之后呢,就是y=2x,3x,甚至任意斜率ax。
通过这些,我发现了一件事,那就是只要将等号右边的x消掉就可以了。”
说到此处,姜子淳似乎觉得自己这么想确实傻了一点,又急忙补充道:
“你不要笑。我当时确实是这样想的。
之后呢,我又开始研究二次曲线,也就是y=x^2。最后我却发现,这条曲线上的点的切线斜率居然全都在y=2x这条直线上。
将两个方程对比了一下,我就发现这两个方程其实是有联系的,第二个方程的右边只是对第一个进行了降次,至于那个系数2,估计也跟次数2有关。
有了想法,我又将第一个方程进行了推广,就是y=a*x^2+b*x+c这样的。最后发现它们的斜率居然都在y=2ax+b上。
你说这个奇怪不奇怪?”
“嗯,确实!”
“这不是有了这个规律嘛,我就开始在三次曲线、四次曲线上也取了几个点,结果竟然都符合。
之后我又通过同样的变换,根据圆的方程推出了圆的切线方程。就是你上面看到的那些。
之后就有了椭圆和双曲线的了。
不过为什么可以这样计算?这样算到底准不准?我却不清楚。
所以便发上来让大家瞧瞧。”
“这样啊!”
闻言,路明远若有所思。多项式的求导确实有规律,而且规律和很简单,对方能察觉出来貌似也比较合理吧!
不过心中,他却狂呼:合理个屁?
谁没事会去比较曲线和曲线斜率这两个方程?而且一般人也没有那个耐心将多次函数的图像准确的画出来好不好?更别说是去验证了。
除非,那人不是常人。
想到此处,路明远都有些想认识自己的这位小迷妹了。不知道对方到底是个什么样的人,竟然有这样的脑回路。
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